Zurrunbilo engainariak

Douglas Richard Hofstadter zientzialari eta filosofo estatubatuarrak arlo desberdinetako hiru maisu erlazionatu zituen bere ikerketarik entzutetsuena, 1980an Pulitzer saria jasoko zuena, osatzeko: Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. Hiru maisuon baitan aurkitzen dituen ezaugarri berdinak oinarritzat hartuta, simetriari, inteligentziari edota matematikari dagozkion hainbat kontzeptu lantzen ditu.

        Komunikazioaren izaeraz, errepresentazio sinbolikoaren metodoez eta mugez edota ezagutza irudikatzeko eta biltzeko moduaz ere mintzatzen zaigu, gainera. Lewis Carrollek Aliziaren ipuinean idatzitako elkarrizketatxo fantastikoen antzekoak analisietan tartekatuz, hitz-jolasak eta buru-hausteak baliatuz, esanahiaren beraren funtsa hartuko du hizpide. Sistemak, "esanahirik gabeko" elementuez osatuak izanagatik ere, auto-erreferentziari eta arau formalei esker esanahiez hornitzen direla azalduko digu zientzia kognitiboetan katedradun den honek.

        Johann Sebastian Bach dugu hiru maisu eredugarri horietarik bat, organista birtuoso eta konpositore bikaina, barroko polifonikoaren gailurrean aurkitzen den musikaria; Goldberg bariazioak, Fugaren artea edota aldaera amaigabeez jositako gainerako obrei esker, behin eta berriz berdeskubritzen den autore klasikoa; piano edo biolin ikasle askoren amesgaiztoa.

        Johann Sebastian Bachen kontrapuntuak eta bereziki fugak, konpositorearen jenialtasuna hobekien erakusten duten piezak izateaz gainera, estruktura geometriko zurrunak ere badirela argudiatuko digute matematikari askok, batez ere musikazale ere badirenek. Alegia, traslazioak, birak edota simetriak bezalako transformazio geometrikoak aplikatuz eta bidean sorburuko funtsa galdu gabe, forma aldatzen duten oinarri finkoak direla. Hainbat lanetan errepikatzen diren klabe numerikoak, sinbologia aritmetiko bitxiak nabarmenduko zaizkigu, bestalde.

        Kurt Gödel dugu bigarrena, Aristotelez geroztik izan den logikorik garrantzitsuena; Albert Einsteinen laguna eta hari zalantza serioak sortzeraino erreplika ziezaiokeen buruargi bakarrenetakoa [17]; egia matematiko absolutu eta osoaren kontzeptuak berez duen ezinezkotasuna frogatu zuelarik [18], filosofiaren eta matematiken norabidea aldatu zuena; eromenaren mugetan dagoen jenialtasunaren paradigma.

        Haren hausnarketak errazago ulertzearren, Gezurtiarena deituriko paradoxa zaharra erabili izan da sarri. Hots, «Egiaztapen hau faltsua da» dioen esaldia eta beronen azterketak agerian uzten dituen ondorioak. Alegia, aipatutako perpaus hori benetakoa baldin bada, egiaztapena faltsua dela esaten ari gara, baina hori, izatez, lehen hipotesiarekiko kontraesana besterik ez da. Era berean, faltsua izatekotan, esaldiak egiazkoa behar du izan, eta hala, aurrekoaren kontraesanera heltzen gara berriro.

        Amaierarik gabeko zurrunbilo hori matematikara ekarrita, «Teorema hau demostratzerik ez dago» paradoxaren parekoa proposatu zuen Gödelek. Edo beste modu batera esanda, aritmetika sustengatzen duen edozein sistemaren baitan —esaterako, Matematikan— frogatu ezin diren benetako egiaztapenak ere badirela utzi zuen agerian.

        Maurits Cornelis Escher-ek osatzen du Hofstadterren hirutasuna, litografia eta xilografia zuri-beltzetan errepikaketa amaigabeak, ikuspegi ezinezkoak edota mundu imajinarioak grabatzen zituen artista grafikoa; ez punta eta ez ipurdi duten egoerak, infinituraino eraldatzen ari diren paraje, figura nahiz ziklo harrigarriak irudikatzen parerik izan ez zuen mago ezkerra.

        Gödel, Escher eta Bach egur bereko hiru ezpal dira lan mardul honen egilearentzat. Finean, esentzia trinko jakin batek —bertan berrosatu nahi duen muina, bidenabar esanda—, norantza desberdinetara zuzendutako itzalak.

        Hofstadterrek aipatzen digun era "gidatu" horretan ekin zion M.C. Escherrek, hain zuzen, ausaz hartutako bide harrigarriari. Bere obra biltzen duen liburuetariko baten atarikoan aitortu zuenez, indar ezezagun eta ezkutuko batek ezinbestez bultzatu izan balu bezala, alegia.

        «Txikitandik teknika grafikoei pasioz heltzen dionak bere arloan maisutasuna lortuko duen eguna itxaroten du helburu gisa, eta horretara bideratzen ditu bere denbora eta ahaleginak. Ilusio horretan murgilduta jardun izan dut neronek ere urtetan, errebelazioaren eguna heldu zen arte».

        «Teknikaren perfekzioak —jarraitzen du— helburu izateari utzi eta ordura arte ezezaguna zitzaidan desio batek hartu ninduela konturatu nintzen behin. Grabatzailearen lanbidearekin zerikusi handirik ez duten ideiak etortzen zitzaizkidan izpiritura, guztiz liluratzen ninduten kontzeptuak, eta hauexen berri emateko gogo ikaragarri eta apalgaitza piztu zitzaidan. Ezinezkoa zitzaidan, ordea, burutapenok hitzez adieraztea, ez baitziren letren barrutikoak, figuratiboak baizik. Ulergarriak izatekotan, modu bisualean behar nituen azaldu».

        Eta hala, gustuen Italia hegoaldeko paisaiak marrazten zituen grabatugile perfekziozale honek senetik zetozkion buru-hausteak landu zituen 1937az geroztik, gauaren ilunean obsesionatzeraino sorgintzen zuten gai kontzeptualak: erregularitatea, estruktura matematikoak, jarraitasuna, infinitua. Eta guztien gainetik, hiru dimentsiotako objektuak azalera plano batean irudikatzeko moduak lehertzen duen harridura; paper zati batean sor daitekeen ispilu magikoa.

        Marraztea begia engainatzea baita M.C. Escherrentzat; leihoan erakusten dena, ukitu ezean, benetakoa edo "egia" dela sinetsaraztea.

        Fermuki hautatutako bidetik kosta ahala kosta segitzeko izan zuen afana egiten da kasik obra bera baino txundigarriagoa, arrakasta lortu aurreko urte luzeak kontuan hartzen badira behintzat. Ia estanparik saltzen ez zuenean, kritikariek ezikusiarena egiten ziotenean edota bere lanak artea ez den beste alorren batean sailkatu behar zirela aipatzen zutenean ere, bereari eusten baitzion erremedio gabeki. Inguruari ezertan eragiten utzi gabe, gogoko zuena bakarrik grabatzen zuen, eta horretarako behar adina denbora hartzen. Aitaren bizkarretik bizi behar izango bazuen ere.

        Ezin imajinatu, bestalde, irudikatzen zituen kontzeptuetarik asko abstrakziora, arau formaletara eramanda arrotzak zitzaizkionik. Ezin imajinatu, fisikariei nahiz matematikariei, bere mireslerik handienak ziren horiei, nekez ulertzen zienik. Bere obretan halako teorema edo bestelako formula aplikatu izanaz mintzatzen zitzaizkiolarik [19], mailarik ez zuela argudiatzen zien; eskolan oinarrizko matematikak gainditzeko ere lan ederrak izan zituela; artista garaikideak baino hurbilago sentitzen zituen arren, kideak balira bezala aritzeko talenturik ez zuela. Bereziki, irakaspenak eman nahian hasten bazitzaizkion. Egiazki, gorrotatu egiten zituen abstrakzioak M.C. Escherrek. Ezertara ailegatzekotan, elementu konkretuetatik abiatu behar izaten zuen.

        Planoaren eta espazioaren arteko gatazkaz ari den obra aski ezagun bati ipini diogu arreta, Marrazten ari diren eskuak izenburuko litografiari.

        Lau txintxetaz plantxa batera jositako paper-orri batean, oso modu errealistan irudikatutako bi esku ageri dira, arkatza hatzetan dutela. Lehen kolpean ikusten den eskua, goian kokatuta dagoen esku eskuina, alkandora baten eskumuturra ari da marrazten paperaren ertz batetik hasita. Lerro hutsez hasitako mahuka zati hori, ordea, aldatzen hasten da, bolumena hartzen, gorpuzten, harik eta alkandoraren muturretik beste esku bat, ezkerra kasu honetan, ateratzen den arte. Eskuina bezala, finki eta zehaztapen handiz egina dago ezkerra ere, benetakoa dirudi. Azalera plano horretatik askatuta bezala dago eta alkandora baten mahuka marrazten ari da beste muturrean. Lerro hutsez hasitako mahuka zati hori, ordea, aldatzen hasten da, bolumena hartzen, gorpuzten, harik eta alkandoraren muturretik esku bat, deskribapenaren hasieran aipatu dugun esku eskuin horixe bera, ateratzen den arte.

        M.C. Escherrentzat eskuinak egiten du, beraz, esku ezkerra; eta ezkerrak, esku eskuina, amaierarik gabeko zurrunbiloan.

        Eta kokapenaz ari bagara bederen, egia gordin eta absolutua da horixe, begi-bistakoa bezain ahantzia. Posizioak gurekiko, besterekiko, zerbaitekiko deskribatzen ditugulako, eskuinik ez dago ezkerrik gabe eta ezkerrik ere ez eskuinik gabe.

        Beherik gabe goirik ez dagoen bezala.

        Yin eta Yang dira. [20]

        [17] Einsteinekin batera, Erlatibitatearen Teoria Orokorra lantzen aritu zen Gödel ere. Egindako ekarpenen artean, denboraren kontzeptuari dagozkionak dira aipagarrienak. Gödelen ustez, unibertsoa ez da estatikoa (baiezkoan zegoen Einstein hasiera batean), eta ez da hedatzen ari (Lemaître-k kontrakoa zioen arren). Gödelen ustez, unibertsoa errotatzen ari da, eta denboran atzera edo aurrera egitea posible da. Iragana eta etorkizuna, beraz, ez dira bere horretan existitzen.

        [18] 1931n Osagabetasunaren Teorema argitaratu zuen. Horren arabera, oinarrizko aritmetika sustengatzen duen edozein sistema (esaterako, Matematika, bere osotasunean hartuta), osatugabea da. XX. mendeko Logikaren emaitza iraultzaileena dela esaten da. Besteak beste, bere ideien orokortzeak prozesu informatikoen mugak ezagutzen lagundu duelako. Adibide bat: ordenagailuen sistema operatiboa aldatzeko gauza ez diren programek ezingo dituzte horretarako gai diren programa guztiak (birusak) atzeman.

        [19] M.C. Escherrek asko maite zuen Estanpa erakusketa izenburuko bere litografia. Hari buruz Bruno Ernst lagun-min eta biografo bilakatuko zenarekin hizketan ari zela, gertaera bat ekarri zion gogora:

        «Bi gizon jakintsu, Van Dantzig eta Van Wijngaarden profesoreak, hain justu, "Riemann-en plano" deituriko zer bat irudikatu nuela konpreniarazi nahi izan zidaten behin. Alferrik. Ez dut uste arrazoi zutenik, plano horien ezaugarrietariko bat erdigune hutsa den arren [bere irudiak ere zuriune biribil bat du zentroan]. Nolanahi ere, ez dut Riemann horri buruzko ezertxo ezagutzen. [...]

        »Nire gogoa ez zen eraztun itxurako dilatazio itxi bat, inon hasi eta bukatzen ez den zerbait irudikatzea. Kontzienteki, seriean dauden objektuak hautatu ditut: paretan ipinita dagoen estanpa ilara eta herri bateko etxe saila. Elementu zikliko hauek izan ezean, arras zail egiten da nire asmoa ikusleari modu ulergarrian ipintzea. Eta hala eta guztiz ere, esango nuke, tutik ere ez dute konprenitzen».

        [20] Yin eta Yang bitasuna Txinako filosofiaren baitako kontzepturik zabalduena da. Tao deituriko Batasun Sortzailearen hurrengo fasea da eta Unibertsoko gauza guztietan aurkitzen diren oinarrizko bi indarrak, aurkako diruditen arren osagarri direnak, deskribatzen ditu. Aurrekoa eta atzekoa, eskuina eta ezkerra, hotza eta beroa, argia eta iluna, eguna eta gaua... Bitasun hauek guztiak ez dira antagonikoak, ezin baitute independenteki bizi eta banaezinak dira. Sortu eta kontsumitu egiten dute elkar, oreka dinamikoa osatzen dute: bat handitzen bada, bestea txikitu egiten da. Behin-behineko desoreka da nahita ere, bataren gehiegikeriak bestearen trinkotzea baitakar, eta hala, transformazio berria eragiten baita. Interdependentzia honek yin eta yang fenomenoen erlatibotasuna erakusten du, izaera infinitua.